📄️ Chương 11: Không gian định chuẩn và không gian Banach (Normed and Banach Spaces)
Phần này là bước tổng hợp đầu tiên, kết hợp cấu trúc đại số của không gian vector (từ Đại số tuyến tính) với cấu trúc topo của không gian metric (từ Giải tích thực/Không gian Metric). Kết quả là chúng ta có được những "sân khấu" mạnh mẽ nhất để nghiên cứu các không gian hàm và các toán tử trên chúng.
📄️ Chương 12: Không gian Hilbert (Hilbert Spaces)
Chương này giới thiệu một loại không gian Banach đặc biệt và hoàn hảo nhất: không gian Hilbert. Bằng cách bổ sung thêm một cấu trúc hình học là inner product (tích vô hướng), chúng ta có thể định nghĩa được các khái niệm về "góc" và "sự vuông góc" (orthogonality). Đây là môi trường làm việc gần gũi nhất với không gian Euclid quen thuộc, và là nền tảng của cơ học lượng tử, xử lý tín hiệu và nhiều lý thuyết học máy hiện đại.
📄️ Chương 13: Các định lý cơ bản của Giải tích hàm (Fundamental Theorems of Functional Analysis)
Đây là chương lý thuyết cốt lõi, trái tim của toàn bộ giải tích hàm. Ba nhóm định lý được giới thiệu ở đây—thường được gọi là ba trụ cột của giải tích hàm—là những công cụ cực kỳ mạnh mẽ. Chúng tiết lộ những sự thật sâu sắc về cấu trúc của không gian Banach, nơi mà tính đầy đủ (completeness) không chỉ là một tính chất kỹ thuật mà còn là nguồn gốc của những hệ quả đáng kinh ngạc. Các định lý này cho phép chúng ta rút ra những kết luận toàn cục mạnh mẽ từ những giả thiết cục bộ có vẻ yếu.
📄️ Chương 14: Không gian đối ngẫu và Hội tụ yếu (Dual Spaces and Weak Convergence)
Chương này khám phá một trong những ý tưởng sâu sắc và mạnh mẽ nhất của giải tích hàm: thay vì chỉ nghiên cứu các vector trong một không gian, chúng ta hãy nghiên cứu không gian của tất cả các "phép đo tuyến tính" có thể thực hiện trên nó. Cấu trúc này, được gọi là dual space, tiết lộ những bí mật đáng kinh ngạc về không gian ban đầu. Nó cũng cho phép chúng ta định nghĩa các kiểu hội tụ tinh vi hơn, vốn là chìa khóa để giải quyết các bài toán trong không gian vô hạn chiều.
📄️ Chương 15: Nhập môn Lý thuyết phổ (Introduction to Spectral Theory)
Đây là chương cuối cùng trong lộ trình nền tảng, nơi chúng ta áp dụng toàn bộ cỗ máy của giải tích hàm để trả lời một câu hỏi cốt lõi: "Một toán tử tuyến tính thực sự làm gì với không gian mà nó tác động lên?". Lý thuyết phổ là sự tổng quát hóa sâu sắc của khái niệm giá trị riêng và vector riêng từ đại số tuyến tính sang không gian vô hạn chiều, và là chìa khóa để hiểu các hệ động lực, cơ học lượng tử và nhiều thuật toán học máy hiện đại.