📄️ Chương 1: Xây dựng Hệ thống Số thực (The Construction of Real Numbers)
Trong chương này, chúng ta sẽ không khám phá những điều mới lạ, bạn hãy tạm quên mọi thứ bạn đã học về số thực, và hãy bắt đầu từ đầu.
📄️ Chương 2: Dãy và Chuỗi số (Sequences and Series of Numbers)
Sau khi xây dựng xong hệ thống số thực với tính chất đầy đủ, giờ là lúc chúng ta làm cho nó "chuyển động". Chương này giới thiệu khái niệm cơ bản nhất về sự thay đổi và xấp xỉ trong giải tích: sự hội tụ của một danh sách số vô hạn (dãy) và ý nghĩa của việc cộng vô hạn các số lại với nhau (chuỗi).
📄️ Chương 3: Cấu trúc Topo trên R (Topology of R)
Trong chương này, chúng ta sẽ định nghĩa một cách chặt chẽ các khái niệm trực quan như "bên trong", "biên", "trọn vẹn" hay "liền một mảnh". Đây là ngôn ngữ để mô tả "hình dạng" và "cấu trúc không gian" của các tập hợp số thực, một bước trừu tượng hóa quan trọng để làm việc với các hàm số sau này.
📄️ Chương 4: Giới hạn và Tính liên tục của Hàm số (Limits and Continuity of Functions)
Đây là chương học nơi các khái niệm về sự hội tụ mà chúng ta đã phát triển cho dãy số được áp dụng vào các hàm số. Chúng ta sẽ xây dựng nền tảng vững chắc để hiểu được hành vi của hàm số tại các điểm lân cận và trên toàn bộ một khoảng, đặt cơ sở cho phép tính vi phân và tích phân sau này.
📄️ Chương 5: Phép tính vi phân (Differentiation)
Trong chương này, chúng ta sẽ định nghĩa một cách chặt chẽ khái niệm "tốc độ thay đổi tức thời" hay "độ dốc tại một điểm". Đây là chìa khóa để giải quyết vô số bài toán từ vật lý, kinh tế cho đến khoa học máy tính. Chúng ta sẽ khám phá các định lý nền tảng cho phép liên kết hành vi cục bộ (tại một điểm) với hành vi toàn cục (trên một khoảng) của hàm số.
📄️ Chương 6: Tích phân Riemann (The Riemann Integral)
Trong chương này, chúng ta sẽ định nghĩa một cách chặt chẽ ý tưởng trực quan về việc "tính diện tích dưới một đường cong". Chúng ta sẽ xây dựng khái niệm này từ những ý tưởng rất cơ bản về việc xấp xỉ bằng các hình chữ nhật, và khám phá ra mối liên hệ sâu sắc và đẹp đẽ giữa hai quá trình tưởng chừng như ngược nhau: lấy đạo hàm và lấy tích phân.
📄️ Chương 7: Dãy và Chuỗi hàm (Sequences and Series of Functions)
Sau khi đã thành thạo các công cụ để xử lý dãy và chuỗi các con số, bây giờ chúng ta sẽ nâng mức độ trừu tượng lên một bậc: điều gì sẽ xảy ra khi mỗi số hạng trong dãy của chúng ta không phải là một con số, mà là cả một hàm số? Chương này sẽ khám phá các cách khác nhau mà một dãy các đồ thị có thể "biến hình" để hội tụ về một đồ thị cuối cùng, và những hệ quả sâu sắc của quá trình đó.