Chương 3: Ánh xạ tuyến tính (Linear Maps)

Khi đã có "sân khấu" là các vector space, chúng ta bắt đầu nghiên cứu các "diễn viên"—các linear maps. Đây là những hàm số đặc biệt, không phải là những hàm bất kỳ, mà là những hàm "tôn trọng" và bảo toàn cấu trúc đại số của không gian. Chúng là hiện thân của các phép biến đổi nền tảng như quay, co giãn, và chiếu. Chỉ sau khi hiểu rõ bản chất của chúng, chúng ta mới thấy rằng ma trận chỉ là một cách tiện lợi để "biểu diễn" các diễn viên này.

---

Định nghĩa Ánh xạ tuyến tính (Linear Map)

1. Động lực / Vấn đề cần giải quyết:

Chúng ta đã xây dựng các vector space với các quy tắc đại số (cộng vector, nhân vô hướng). Bây giờ, chúng ta muốn nghiên cứu các hàm số đi từ không gian này sang không gian khác. Nhưng không phải hàm số nào cũng hữu ích. Chúng ta cần những hàm số "tôn trọng" các quy tắc của vector space. Một hàm "tôn trọng" cấu trúc là một hàm mà "biến đổi rồi cộng" cũng giống như "cộng rồi biến đổi". Khái niệm linear map ra đời để định nghĩa chính xác lớp các hàm số "cư xử tốt" này.

2. Khái niệm, Cách hiểu đơn giản:

Một linear map là một phép biến đổi "lịch sự" và "có cấu trúc". Nó không làm cong không gian. Nếu bạn vẽ một lưới các đường thẳng song song, sau khi qua phép biến đổi, chúng vẫn là các đường thẳng song song và cách đều. Quan trọng nhất, gốc tọa độ luôn được giữ nguyên vị trí. Hãy nghĩ về các phép biến đổi hình học cơ bản như quay, phản chiếu, hoặc co giãn đồng đều.

3. Định nghĩa toán học:

Một linear map từ một vector space $V$ đến một vector space $W$ (trên cùng một field $F$) là một hàm $T: V \to W$ thỏa mãn hai điều kiện sau với mọi $u, v \in V$ và mọi vô hướng $\alpha \in F$:

1. Tính cộng tính (Additivity): $T(u + v) = T(u) + T(v)$
2. Tính thuần nhất (Homogeneity): $T(\alpha u) = \alpha T(u)$

4. Ví dụ và Phản ví dụ:

• Ví dụ:
  • Phép biến đổi $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ định nghĩa bởi $T(x, y) = (x-y, 2x)$ là một linear map.
  • Phép lấy đạo hàm $D: \mathcal{P}_3(\mathbb{R}) \to \mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ là một linear map vì $(p+q)' = p' + q'$ và $(\alpha p)' = \alpha p'$.
• Phản ví dụ:
  • Hàm $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ định nghĩa bởi $f(x) = x^2$ không phải là linear map vì $f(x+y) = (x+y)^2 \ne x^2 + y^2 = f(x) + f(y)$.
  • Hàm $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ định nghĩa bởi $g(x) = x+1$ không phải là linear map vì $g(0) = 1 \ne 0$. (Một hệ quả của định nghĩa là mọi linear map phải biến vector không thành vector không).

5. Ý nghĩa hình học, hoặc ý nghĩa nào đó:

Linear map là sự hiện thân đại số của các phép biến đổi hình học bảo toàn cấu trúc "phẳng" của không gian. Nó không thể biến một đường thẳng thành một đường cong. Nó bảo toàn gốc tọa độ, các đường thẳng song song, và tâm của các hình.

6. Ứng dụng trong Machine Learning, Deep Learning, hoặc AI:

• Linear Layers in Neural Networks: Một lớp tuyến tính (fully-connected layer) trong một mạng neural, trước khi đi qua hàm kích hoạt phi tuyến (như ReLU hay sigmoid), chính là một linear map (chính xác hơn là một affine map, tức một linear map cộng với một vector dịch chuyển). Trọng số của lớp này chính là ma trận biểu diễn cho linear map đó. Quá trình học chính là đi tìm một chuỗi các linear map tối ưu.

---

Không gian các Ánh xạ tuyến tính $L(V, W)$

1. Động lực / Vấn đề cần giải quyết:

Khi đã có các đối tượng là linear map, một câu hỏi tự nhiên trong toán học là: liệu tập hợp tất cả các đối tượng này có tự nó tạo thành một cấu trúc thú vị hay không? Cụ thể, ta có thể "cộng" hai linear map với nhau hoặc "co giãn" một linear map không? Nếu có, cấu trúc đó là gì?

2. Khái niệm, Cách hiểu đơn giản:

Tập hợp tất cả các linear map đi từ không gian $V$ đến không gian $W$ tự nó lại là một vector space. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể coi các phép biến đổi như là các vector và thực hiện các phép toán đại số trên chúng. Việc "cộng" hai phép biến đổi $S$ và $T$ chỉ đơn giản là thực hiện từng phép biến đổi rồi cộng kết quả lại.

3. Định nghĩa toán học:

Tập hợp tất cả các linear map từ $V$ đến $W$ được ký hiệu là $L(V, W)$. Với $S, T \in L(V, W)$, ta định nghĩa phép cộng và nhân vô hướng như sau:

• Sum: $(S+T)(v) = S(v) + T(v)$
• Scalar Multiplication: $(\alpha T)(v) = \alpha T(v)$ Với hai phép toán này, $L(V, W)$ là một vector space.

4. Ví dụ và Phản ví dụ:

• Ví dụ:
  • Không gian $L(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$ chính là không gian của tất cả các ma trận $m \times n$. Dimension của nó là $m \cdot n$.
  • $L(\mathcal{P}_3(\mathbb{R}), \mathbb{R})$ là không gian của các "phép đo" tuyến tính trên các đa thức bậc 3, ví dụ như phép "lấy giá trị tại điểm $x=0$" hay phép "lấy tích phân từ 0 đến 1".
• Phản ví dụ: Khái niệm này không có phản ví dụ vì nó là một định nghĩa xây dựng.

5. Ý nghĩa hình học, hoặc ý nghĩa nào đó:

Đây là một bước trừu tượng hóa quan trọng. Chúng ta đang thực hiện "giải tích trên các hàm số" (hoặc "đại số trên các phép biến đổi"). Khả năng xem xét toàn bộ không gian của các phép biến đổi là một ý tưởng nền tảng của giải tích hàm và lý thuyết toán tử.

6. Ứng dụng trong Machine Learning, Deep Learning, hoặc AI:

• Searching in Function Space: Nhiều bài toán ML có thể được phát biểu như việc tìm kiếm một hàm (mô hình) tối ưu trong một không gian hàm nào đó. Ví dụ, trong hồi quy tuyến tính, chúng ta đang tìm một linear map tối ưu trong không gian $L(\mathbb{R}^n, \mathbb{R})$. Các thuật toán tối ưu như Gradient Descent có thể được xem như là các bước đi trong không gian các hàm (hoặc không gian các tham số biểu diễn cho các hàm đó).

---

Hạt nhân (Kernel) và Ảnh (Image)

1. Động lực / Vấn đề cần giải quyết:

Một linear map $T: V \to W$ biến đổi không gian $V$. Chúng ta muốn hiểu hai điều cơ bản về sự biến đổi này:

1. Thông tin bị mất: Có những vector nào trong $V$ bị "triệt tiêu", tức là bị biến thành vector không trong $W$? Tập hợp này cho biết những gì bị mất đi trong phép biến đổi.
2. Phạm vi đầu ra: Tập hợp tất cả các vector có thể có ở đầu ra trong $W$ là gì? Nó có lấp đầy toàn bộ $W$ hay chỉ một phần của nó?

2. Khái niệm, Cách hiểu đơn giản:

• Kernel (hay null space): Là "hố đen" của phép biến đổi. Nó là tập hợp tất cả các vector đầu vào bị hút về vector không ở đầu ra.
• Image (hay range): Là "vùng ảnh hưởng" của phép biến đổi. Nó là tập hợp tất cả các vector đầu ra mà bạn có thể tạo ra được.

3. Định nghĩa toán học:

Cho một linear map $T: V \to W$.

• Kernel của $T$ được định nghĩa là: $\ker(T) = \{v \in V \mid T(v) = 0\}$ $\ker(T)$ là một subspace của $V$.
• Image của $T$ được định nghĩa là: $\text{im}(T) = \{T(v) \mid v \in V\}$ $\text{im}(T)$ là một subspace của $W$.

4. Ví dụ và Phản ví dụ:

• Ví dụ:
  • Xét phép chiếu $P: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ định nghĩa bởi $P(x, y, z) = (x, y, 0)$.
  • Kernel của $P$ là tập hợp $\{(0, 0, z) \mid z \in \mathbb{R}\}$, tức là toàn bộ trục z.
  • Image của $P$ là tập hợp $\{(x, y, 0) \mid x, y \in \mathbb{R}\}$, tức là toàn bộ mặt phẳng xy.
• Phản ví dụ:
  • Cho ví dụ trên, vector $(1, 2, 3)$ không thuộc kernel của $P$ vì $P(1, 2, 3) = (1, 2, 0) \ne (0, 0, 0)$.
  • Vector $(1, 2, 3)$ không thuộc image của $P$ vì không có đầu vào nào có thể tạo ra nó.

5. Ý nghĩa hình học, hoặc ý nghĩa nào đó:

Kernel đại diện cho sự "co lại" hay "mất chiều" của không gian. Một kernel khác không có nghĩa là phép biến đổi không phải là đơn ánh (nhiều đầu vào cho cùng một đầu ra). Image cho thấy không gian đầu ra bị "bóp méo" hay "thu nhỏ" như thế nào. Nếu image không phải là toàn bộ không gian đích, phép biến đổi không phải là toàn ánh.

6. Ứng dụng trong Machine Learning, Deep Learning, hoặc AI:

• Information Bottleneck: Kernel của một phép biến đổi đặc trưng (feature transformation) đại diện cho những thông tin trong dữ liệu đầu vào bị loại bỏ. Trong các kiến trúc như Autoencoder, "cổ chai" (bottleneck layer) có số chiều thấp hơn đầu vào, buộc mô hình phải học cách nén thông tin, tức là tạo ra một kernel không tầm thường để loại bỏ những thông tin dư thừa.
• Solvability of Linear Systems: Hệ phương trình tuyến tính $Ax=b$ có nghiệm khi và chỉ khi vector $b$ nằm trong image (column space) của ma trận $A$.

---

Định lý Hạng-Số chiều Hạt nhân (Rank-Nullity Theorem)

1. Động lực / Vấn đề cần giải quyết:

Chúng ta đã xác định hai subspace quan trọng: kernel (thông tin bị mất) và image (thông tin được giữ lại). Một câu hỏi tự nhiên là: có mối liên hệ nào giữa "kích thước" của những gì bị mất và "kích thước" của những gì được giữ lại không?

2. Khái niệm, Cách hiểu đơn giản:

Đây là một định luật bảo toàn số chiều. Nó nói rằng số chiều của không gian đầu vào bằng tổng của số chiều bị "triệt tiêu" (số chiều của kernel) và số chiều của không gian đầu ra thực tế (số chiều của image). Bạn không thể tạo ra hay phá hủy dimension một cách tùy tiện; số chiều chỉ có thể được "chuyển hóa" từ không gian đầu vào sang kernel hoặc image.

3. Định nghĩa toán học:

Rank-Nullity Theorem: Cho $V$ là một vector space hữu hạn chiều và $T \in L(V, W)$. Khi đó, image của $T$ cũng hữu hạn chiều và ta có: $\dim(V) = \dim(\ker(T)) + \dim(\text{im}(T))$ Số $\dim(\text{im}(T))$ được gọi là rank của $T$, và $\dim(\ker(T))$ được gọi là nullity của $T$.

4. Ví dụ và Phản ví dụ:

• Ví dụ:
  • Xét lại phép chiếu $P: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ với $P(x, y, z) = (x, y, 0)$.
  • $\dim(\mathbb{R}^3) = 3$.
  • $\ker(P)$ là trục z, nên $\dim(\ker(P)) = 1$ (nullity).
  • $\text{im}(P)$ là mặt phẳng xy, nên $\dim(\text{im}(P)) = 2$ (rank).
  • Ta có $3 = 1 + 2$. Định lý được thỏa mãn.
• Phản ví dụ:
  • Định lý này chỉ áp dụng cho không gian nguồn $V$ hữu hạn chiều. Đối với các không gian vô hạn chiều (như không gian các hàm số), nó có thể không đúng.

5. Ý nghĩa hình học, hoặc ý nghĩa nào đó:

Định lý này là một công cụ định lượng mạnh mẽ để hiểu cấu trúc của các linear map. Nó cho biết rằng một linear map càng "triệt tiêu" nhiều (kernel càng lớn) thì không gian đầu ra của nó càng "nhỏ" (image càng nhỏ), và ngược lại, tuân theo một quy luật bảo toàn chặt chẽ.

6. Ứng dụng trong Machine Learning, Deep Learning, hoặc AI:

• Matrix Factorization and Compression: Các kỹ thuật như SVD phân tích một ma trận (đại diện cho một linear map) thành các thành phần. Rank của ma trận cho biết số chiều "hiệu dụng" của dữ liệu. Các phương pháp xấp xỉ ma trận hạng thấp (low-rank approximation) dựa trên định lý này để nén dữ liệu bằng cách loại bỏ các chiều tương ứng với kernel (hoặc gần kernel) trong khi vẫn giữ lại các chiều quan trọng nhất trong image.

---

Không gian Vector đẳng cấu (Isomorphic Vector Spaces)

1. Động lực / Vấn đề cần giải quyết:

Ta thấy có nhiều vector space trông rất khác nhau: không gian các vector cột $\mathbb{R}^4$, không gian các đa thức bậc 3 $\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$, không gian các ma trận $2 \times 2$. Tuy nhiên, chúng đều có "kích thước" là 4. Liệu chúng có thực sự khác nhau, hay chỉ là những "cách viết" khác nhau của cùng một cấu trúc cơ bản?

2. Khái niệm, Cách hiểu đơn giản:

Hai vector space được gọi là isomorphic (đẳng cấu) nếu chúng "giống hệt nhau" về mặt cấu trúc đại số tuyến tính. Tồn tại một "phép dịch" hoàn hảo (một linear map song ánh) giữa chúng, cho phép ta đối chiếu 1-1 mọi vector và mọi phép toán mà không làm mất mát thông tin. Về cơ bản, chúng chỉ là những "bộ trang phục" khác nhau cho cùng một cơ thể.

3. Định nghĩa toán học:

Một linear map $T: V \to W$ được gọi là một isomorphism nếu nó là song ánh (vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh). Hai vector space $V$ và $W$ được gọi là isomorphic nếu tồn tại một isomorphism giữa chúng. Định lý phân loại: Hai vector space hữu hạn chiều trên cùng một field là isomorphic khi và chỉ khi chúng có cùng dimension.

4. Ví dụ và Phản ví dụ:

• Ví dụ:
  • Không gian $\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$ là isomorphic với $\mathbb{R}^4$ qua ánh xạ $a+bx+cx^2+dx^3 \mapsto (a, b, c, d)$.
  • Không gian ma trận $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$ cũng isomorphic với $\mathbb{R}^4$.
• Phản ví dụ:
  • $\mathbb{R}^2$ không isomorphic với $\mathbb{R}^3$ vì chúng có dimension khác nhau.
  • Không gian các đa thức $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ (vô hạn chiều) không isomorphic với $\mathbb{R}^n$ (hữu hạn chiều).

5. Ý nghĩa hình học, hoặc ý nghĩa nào đó:

Đây là một định lý phân loại cực kỳ mạnh mẽ. Nó nói rằng, về mặt trừu tượng, chỉ có một loại vector space $n$-chiều duy nhất trên một field cho trước. Mọi không gian khác có cùng dimension chỉ là một cách "dán nhãn" khác cho các phần tử của $\mathbb{R}^n$. Điều này cho phép chúng ta nghiên cứu $\mathbb{R}^n$ và áp dụng các kết quả cho mọi không gian $n$-chiều khác.

6. Ứng dụng trong Machine Learning, Deep Learning, hoặc AI:

• Data Representation: Nguyên lý này là nền tảng cho việc chúng ta có thể biểu diễn hầu hết mọi loại dữ liệu—hình ảnh, văn bản, âm thanh, các nước đi trong một ván cờ—dưới dạng các vector trong $\mathbb{R}^n$ để đưa vào các thuật toán học máy. Miễn là tồn tại một phép isomorphism (hoặc một phép nhúng hợp lý) từ không gian dữ liệu gốc vào $\mathbb{R}^n$, các thuật toán có thể hoạt động hiệu quả. Việc thiết kế các phép nhúng (embedding) tốt chính là một trong những nhiệm vụ cốt lõi của ML hiện đại.